$\frac{lim}{x\to 0}\frac{x}{\sqrt{1+x-1}}=?$

\(\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1+x}-1}\)

প্রথমে, সরাসরি \(x = 0\) বসিয়ে দেখি। আমরা পাব \( \frac{0}{\sqrt{1+0}-1} = \frac{0}{1-1} = \frac{0}{0} \)। এটি একটি অনির্ণেয় আকার (indeterminate form)। এই ধরনের অনির্ণেয় আকার দূর করার জন্য আমরা অনুবন্ধী রাশি (conjugate) দ্বারা গুণ করতে পারি অথবা L'Hôpital's Rule ব্যবহার করতে পারি। এখানে আমরা অনুবন্ধী রাশি দ্বারা গুণ করার পদ্ধতিটি ব্যবহার করব।

হর-এর অনুবন্ধী রাশি হলো \(\sqrt{1+x}+1\)। এখন আমরা লব ও হরকে এই অনুবন্ধী রাশি দিয়ে গুণ করব:

\(= \lim_{x \to 0} \frac{x}{(\sqrt{1+x}-1)} \times \frac{(\sqrt{1+x}+1)}{(\sqrt{1+x}+1)}\)

হর-এ \((a-b)(a+b) = a^2-b^2\) সূত্রটি প্রয়োগ করব, যেখানে \(a = \sqrt{1+x}\) এবং \(b = 1\):

\(= \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{1+x}+1)}{(\sqrt{1+x})^2 - 1^2}\)

\(= \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{1+x}+1)}{(1+x) - 1}\)

হর-কে সরল করলে পাই:

\(= \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{1+x}+1)}{x}\)

\(x \to 0\) হওয়ার অর্থ হলো \(x \neq 0\)। তাই আমরা লব ও হর থেকে \(x\) কে বাতিল (cancel) করতে পারি:

\(= \lim_{x \to 0} (\sqrt{1+x}+1)\)

এখন, \(x = 0\) বসিয়ে লিমিটের মান নির্ণয় করব:

\(= \sqrt{1+0}+1\)

\(= \sqrt{1}+1\)

\(= 1+1\)

\(= 2\)

অতএব, নির্ণেয় লিমিটের মান 2।

যেহেতু লিমিটটি \(\frac{0}{0}\) আকারের, আমরা L'Hôpital's Rule ব্যবহার করতে পারি। এই নিয়মানুসারে, যদি \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}\) অনির্ণেয় আকার \(\frac{0}{0}\) বা \(\frac{\infty}{\infty}\) হয়, তাহলে \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\)।

এখানে \(f(x) = x\) এবং \(g(x) = \sqrt{1+x}-1\)।

\(f'(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1\)

\(g'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{1+x}-1) = \frac{d}{dx}((1+x)^{1/2}-1)\)

\(= \frac{1}{2}(1+x)^{1/2-1} \cdot \frac{d}{dx}(1+x) - 0\)

\(= \frac{1}{2}(1+x)^{-1/2} \cdot 1\)

\(= \frac{1}{2\sqrt{1+x}}\)

এখন L'Hôpital's Rule প্রয়োগ করে পাই:

\(= \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2\sqrt{1+x}}}\)

\(= \lim_{x \to 0} 2\sqrt{1+x}\)

এখন \(x = 0\) বসিয়ে পাই:

\(= 2\sqrt{1+0} = 2\sqrt{1} = 2 \times 1 = 2\)

উভয় পদ্ধতিতেই একই ফলাফল পাওয়া যায়।